初二数学期末知识点内容2
|
|
作者:ellen 上传者：ellen 日期：22-10-13 |
'勾股定理是几许学中一颗光芒耀眼的明珠，是“几许学的柱石”， 它提醒了直角三角形三边之间的数量联系，尤其是它表现出来的“形数一致”的思维办法，更具有科学立异的重大意义.勾股定理及其逆定理在出产和日子实践中的效果很大，并且在高等数学和其他自然科学中也有着极为广泛的使用.下面就与我们一起来讨论使用勾股定理及其逆定理的问题.
一、使用勾股定理进行核算
1.求边长
例2:如图2,在△ABC中,∠C=135?,BC= ,AC=2,试求AB的长。
析解:题中没有直角三角形,不能直接用勾股定理,可考虑过点B作BD⊥AC,交AC的延长线于D点,构成Rt△CBD和Rt△ABD。在Rt△CBD中,由于∠ACB=135?,所以∠BCB=45?,所以BD=CD,由BC= ,依据勾股定理得BD2+CD2=BC2,得BD=CD=1,所以AD= AC+ CD=3。在Rt△ABD中,由勾股定理得AB2= AD2+BD2=32+12=10,所以AB= 。
2.求面积
例1:如图1,在等腰△ABC中,腰长AB=10cm,底BC=16cm,试求这个三角形面积。
析解:若能求出这个等腰三角形底边上的高,就可以求出这个三角形面积。而由等腰三角形"三线合一"性质,可联想作底边上的高AD,此刻D也为底边的中点,这样在Rt△ABD中,由勾股定理得AD2=AB2-BD2=102-82=36,所以AD=6cm,所以这个三角形面积为 ×BC×AD= ×16×6=48 cm2。
点评:这两道题有一个一起的特征,都没有现成的直角三角形,都是经过增加恰当的辅助线,奇妙结构直角三角形,凭借勾股定理来处理问题的,这种处理问题的办法里蕴含着数学中很重要的转化思维,请同学们要留神。
二、使用勾股定理的逆定理判别直角三角形
例3:已知a,b,c为△ABC的三边长,且满意a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。试判别△ABC的形状。
析解:由于所给条件是关于a,b,c的一个等式,要判别△ABC的形状,设法求出式中的a,b,c的值或找出它们之间的联系(持平与否)等,因而考虑使用因式分解将所给式子进行变形。由于a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,所以a2-10a+ b2-24b+c2-26c+338=0,所以a2-10a+25+ b2-24b+144+ c2-26c+169=0,所以(a-5)2+ (b-12)2+ (c-13)2=0。由于(a-5)2≥0,(b-12)2≥0,(c-13)2≥0,所以a-5=0,b-12=0,c-13=0,即a=5,b=12,c=13。由于52+122=132,所以a2+ b2= c2,即△ABC是直角三角形。
点评:用代数办法来研讨几许问题是勾股定理的逆定理的"数形结合思维"的重要表现。
三、使用勾股定理阐明线段平方和、差之间的联系
例4:如图3,在△ABC中,∠C=90?,D是AC的中点,DE⊥AB于E点,试阐明:BC2=BE2-AE2。
析解:由于要阐明的是线段平方差问题,故可考虑使用勾股定理,注意到∠C=∠BED=∠AED=90?及CD=AD,可连接BD来处理。由于∠C=90?,所以BD2=BC2+CD2。又DE⊥AB,所以∠BED=∠AED=90?,在Rt△BED中,有BD2=BE2+DE2。在Rt△AED中,有AD2= DE2+AE2。又D是AC的中点,所以AD=CD。故BC2+CD2= BC2+ A D2= BC2+ DE2+AE2= BE2+ DE2,所以BE2= BC2+ AE2,所以BC2=BE2-AE2。
点评:若所给标题的已知或定论中含有线段的平方和或平方差联系时,则可考虑结构直角三角形,使用勾股定理来处理问题。 | |
|